Rasgelelik, Determinizm ve Simülasyon Nedir? 

Bu metni Sayın Aydın Çubukçu’ya sevgilerimle atfediyorum 

Altın arayanlar çok kazarlar az bulurlar.  

Heraklitos 

 Giriş  

Bu yazı; anlama çabasını, anlayabilenlere aktarabilme çerçevesinde derlenmiş bir çalışma olmaktan öte herhangi bir amaca yönelik değildir.

Evrende olup bitenleri anlama ve anlatma çabası içinde olan insan, ilgilendiği olay ve süreçlerle ilgili çeşitli modeller kurar ve bu modeller üzerinde çalışarak gelecekte ne gibi durumlar ortaya çıkabileceğini bilmeye çalışır. Model, gerçek dünyadaki bir sistemin yapı ve işleyişinin, ilgili olduğu bilim sahasının kavram ve kanunlarına bağlı olarak ifade edilmesidir. Model gerçek dünyadaki bir olgunun bir anlatımıdır, bir temsilidir. Modeller gerçeğin kendileri değildir ve ne kadar karmaşık görünseler de gerçeğin bir eksik anlatımıdırlar. Kısaca model denilen şey model kurucunun gerçeği “anlayışının” bir ürünüdür. Modeller değişik biçimlerde sınıflandırılmaktadır. Matematiksel modeller anlatım gücü en fazla ve en geçerli olan modellerdir. Model kurucunun gerçek dünyadaki olguya bakış açışına bağlı olarak modellemede farklı durumlar söz konusu olabilir.

Deterministik (belirlenimci) dünya görüşü ve bununla ilişkili nedensellik ve rasgelelik kavramları bilim, felsefe, sanat gibi alanlarda çok tartışılan konular arasında yer almaktadır.

Psikologlar kesinlik arayışını, çocukluğun ilk günlerine, kişinin henüz kuşku duygusundan tedirgin olmadığı, ana-babanın sağladığı güven içinde rahat olduğu günlere bir dönüş arzusu olarak açıklamaktadırlar. Bu arzu genellikle, çocuğu, kuşkulanmayı bir günah, güven duymayı dinsel bir buyruk saymaya koşullandırılan bir eğitim tarafından yoğunlaştırılır. Kesinlik arayışı, hataya yol açan en tehlikeli kaynaklardan biridir; çünki, bu eğilim üştün bilgi edinme çabası ile birlikte gider.

“Evrende varolan her şey
rasgelelik ve zorunluluk ürünüdür”

 Felsefede Yaklaşım  

Yaşamın her anında inşan bilinçli ya da bilinçsiz olarak iç-içe (içinde veya dışında) bulunduğu olayları, süreçleri gözlemleyerek bunların akışı hakkında bilgilenip bu doğrultuda kendi durumuna uygun davranış biçimlerini ortaya koyar. Olaylar ve süreçler arasında bağıntı aramak dünya üzerinde yaşamaya çalışan inşanın bu olayları bütünleştirici eyleminin bir unsurudur. İnsan içinde bulunduğu koşullara bağlı olarak olaylar arasında amacına uygun ilişkiler kurmaya yönelir. Bu ilişkileri denetimine aldığı, değiştirebildiği, dönüştürebildiği ölçüde de egemenliğini kurar.

Bir olay eğer var olan koşullar çerçevesi içinde söz konusu sürecin özünden zorunlu olarak doğmuyorsa, yani başka türlü de gerçekleşmesi olanaklıysa ve oluşmasına hiç gerek yoksa rasgeledir. Her rasgelelik olgusunun kendi nedenleri vardır. Başka bir deyişle rasgelelik nedensellikle koşullanır. Zorunluluk ile rasgelelik arasındaki karşıtlık mutlak değil görecelidir, yani böyle bir karşıtlıktan ancak belirli koşullar çerçevesinde söz edilebilir.

Meydana gelmesi belli koşullar altında zorunlu olan bir olay, başka koşullar altında rasgele olabileceği gibi, bunun tersi de olanaklıdır. Rasgele bir olay, süreç içinde zorunluluklara dönüşebilir. Zorunluluğun daima rasgelelik ile ortaya çıkması açışından rasgelelik, zorunluluğun tamamlayıcısıdır, yani zorunlu bir olay daima rasgele öğelerle tamamlanır.

Rasgelelik nedenleri bilinmeyen zorunluluk değildir, rasgeleliğin nedenlerinin bilinmesi onun rasgelelik niteliğini değiştirmez. Evrende her olgu ve olay, iç nedenlerinin etkisiyle zorunlu olarak oluşur. Fakat evrendeki her olgu ve olay, aynı zamanda dış nedenlerden de etkilenir. Dış nedenler, iç nedenler gibi temel ve belirleyici değildir. Doğada ve toplumda var olan her şey, şu ya da bu biçimde birbirine bağlıdır ve her şey birbirini etkileme durumundadır.

Bir insan için nerede doğduğu, yaşamak için hangi çevreyi bulduğu rasgele, yaşamını sürdürebilmesi için yemesi ve içmesinin gerektiği ise zorunluluktur.

Her hangi bir olgu ya da olayın rasgelelik veya zorunluluk olup olmadığını anlamak için onun bir iç nedenin mi yoksa bir dış nedenin mi ürünü olduğunu saptamak gerekir. Gerekli önlemler alınarak rasgelelik içeren olaylar ortadan kaldırılabilir. Bir piyangoda ikramiye çıkması şans sayılır, ama böylesine bir şansa ulaşmak için piyango bileti almak zorunludur. Bir kişinin trafik kazası yapması rasgeledir, ancak toplumun tümü trafik kurallarına uyduğu, yaya ve taşıt yollarının düzenli ve kullanışlı olduğu, toplu taşım araçlarının kullanıldığı bir toplumda kaza yapma olasılığı azalacaktır.

Rasgelelik nesneldir, yani inşan düşüncesinden ve iradesinden bağımsızdır. Rasgelelik kimi yerde zorunluluğun işleyişini bir zaman engelleyebilir. Zorunluluk, çeşitli rasgelelikler arasından kendi yolunu açar ve görevini yerine getirir.

Doğada ve toplumda zorunluluk, yasalılığın bir sonucudur. Her yasa, nesne ve olguların bağlı oldukları zorunluluğun belirişidir. Her olay ve olgu bir başka olay ve olguyla ya temel ve içsel ya da temel olmayan ve dışsal bir bağlantı içindedir. Rasgelelik, her zaman bir nesnel zorunluluğu yani bir yasayı gizler. Bir olayın gerçekleşmesinin zorunlu olduğunu söylemek, onun bağıntılarının tamamlanmış olduğunu artık dıştan gelecek etkilere karşı direnç kazandığını, böylece değiştirilemeyeceğini, karşıt eğilime çevrilemeyeceğini söylemek demektir.

Genel sonucu bir yasa olan çok büyük sayıdaki olayların her biri, yasadan şu ya da bu yönde, ya da şu veya bu ölçüde bir sapma meydana getirir ve bu anlamda da bir rasgelelik içerir. Burada yaşa başarısızlık göstermez, tersine gözlemlenir. İçerisindeki sapmaların, olabileceği olanı belirlerken bir yasa işliyorsa, bu ancak rasgelelik yardımıyla olur. Yaşa bir anlamda tamamlanmamış, dar, yaklaşıktır.

Bütün bilimler istatistiksel modellemenin uygulanışından başka bir şey değildir. Gazların kinetik teorisinde, her gaz molekülünün son derece karmaşık bir yörünge çizdiği, fakat büyük sayılar yaşası sonucu, gözlenmesi mümkün olan ortalama olayların Maryot ve Gay-Lussac gibi basit yasalara uyduğu kabul edilir. Kapalı bir kap içindeki gaz molekülleri, birbirlerine ve kabın duvarlarına rasgele olarak çarparlar, ancak kabın her duvarındaki gaz basıncı zorunlu olarak aynıdır. Gaz moleküllerinin rasgele hareketlerinin altında fiziksel ve kimyasal zorunluluk görünür.

Bilim, rasgelelik olgusunu her zaman göz önünde tutar ve onları en aza indirgemeye çalışır. Evrensel karşılıklı ilişki düşüncesi altında hiç bir olay ve olgunun mutlak olmadığı, sürekli oluş ve yok oluş içinde ilerlediği, birinden diğerine geçişi ve dönüşümü göz önüne almak gerekir.

Birbirinden kopuk olarak gelişen birçok tekil olayın, bu arada belli bir düzenlilik ve genel ilişki içinde bütünleşebildikleri durumlar ortaya çıkabilir. Bu ilişkiler tekrarlanabilir, genel ve sürekli bir duruma geldiğinde rasgelelik son bulur.

Rasgele olay belirli koşullarda ortaya çıkabilen ya da ortaya çıkması mümkün olmayan olaydır. Ancak, felsefi bilimlerde ikili karakter taşımış ve birbirine karşı olmuştur. Bir kısım filozoflar ortaya çıkan olayları kesin, yasaya uygun kabul ederek rasgeleliği red etmişler, diğerleri ise bütün olayları rasgeleliğe mal etmişlerdir.

Bizi çevreleyen dünyada, zorunluluk ile rasgelelik arasındaki iç bağıntı nedir? Bu sorunun yanıtlarından biri şu olabilir; Zorunlu olarak olması gereken ve olmayabilecek olan hiç bir şey yoktur. Her şey, her olay, ne denli inanılmaz olursa olsun, şu ya da bu yolla olabilir. Bu görüş açışından, olanaksız olan bir şey yoktur. Zorunluluk olarak bir şey yoktur. Dünyadaki her şey rasgeleliğin sonucudur. Zorunluluğu görmezden gelip, her şeyin olabilirliğine inanan gruba felsefede belirlenmezciler denir. Bilim, her şeyin, doğanın yasalarına boyun eğdiğini ve aman bilmez zorunluluk tarafından yönetildiğini göstermektedir. Hiç bir şey gerçeklikte olduğundan başka bir yolla olamaz. Bir olayın kesin yaşaya karşıt olarak olabileceğini, olmasına gerek olmayan bir olay, rasgele bir olay olarak varsayınca, bu, nedensiz bir olay yani mucize olur. Oysa mucizeler olmamaktadır, olamazlar da. Bazı filozoflar, doğada hiç bir şeyin rasgele olarak olmadığı ve her şeyin önceden belirlendiği yargısına ulaşmışlardır. Bu düşünceyi benimseyenler Newton’un determinist klasik mekaniğinin yasalarında doğru yargıya ulaştıklarını düşünmüşler ve mekanikçi belirlenimcilik uzun yıllar insanlığı egemenliği altına almıştır. Fakat, bilim tek tek cisimlerin yörüngelerinden daha karmaşık şeylerle yüz yüze geldiğinde mekanikçi belirlenimciliğin temelini çökertmiştir. Her olayın önüne geçilmez bir biçimde belirlendiği ve kaçınılmaz olduğu kabul edilerek yazgıcılığa varılmış olunur. Her şeyin değiştirilemez bir biçimde önceden belirlenmiş olduğunu kabul etmek zorunlu olarak mekanikçi belirlenimciliğin sonucudur.

Bitkiler ve hayvanlar dünyasında, hiç bir bitki ya da hayvanın sonsuza dek yaşamadığı görülür, bu bir doğa yasasıdır. Büyümekte olan bir ağacın tam olarak ölüm gününü ve saatini saptayan bir yasa yoktur. Bu, bütün canlılar için de geçerlidir. Evrenin yüce bir kuramı yoktur; yalnızca evreni gittikçe daha doğru betimleyen sonsuz bir kuramlar dizisi vardır. Olaylar belli bir yere kadar kestirilebilir, bundan ötesi gelişigüzel ve keyfidir.

Çağımızda doğa bilimlerinin amacı, olayları yalnızca belirsizlik ilkesinin saptadığı sınırlara kadar kestirebilecek bir yasalar takımını ortaya koymaktır.

Belirlenimsizliğin ve mekanikçi belirlenimciliğin, kanıtlamasından yoksun olduğunu gören bazı filozoflar, olayların hem zorunlu hem de rasgele olduklarını, küçük olayların rasgeleliğe, büyüklerin ise zorunluluğa dayandıklarını söyleyerek orta yolu seçmişlerdir. Bu bakış açısına göre, rasgele olaylar zorunluluktan doğmadıklarına göre yasalara bağlı değildirler ve mucizeden başka bir şey değildirler, zorunlu olaylar ise önceden belirlenmiş bir şey olarak kabul edilmiştir.

Gerek doğada, gerek toplumda, hiç bir süreç özdeş biçimde yinelenemez. Yine de mutlak olmayan ama yaklaşık olan bazı bağıntıların yinelenmesi zorunlu olarak gerçekleşir. Zorunluluğun kendini açıklaması tam da böyledir. Tek tek olaylar yasadan belli sınırlar içinde sapabilir. Sosyolog Auguste Comte, toplumsal olayların da fiziksel olaylar gibi kesin neden sonuç bağıntılarıyla gerçekleştiğini savunarak Laplace anlamında determinizmden kurtulamamıştır. Çünkü toplumsal olaylar, mekanik neden sonuç ilişkileri biçiminde gerçekleşmez. Birçok bağıntı ve çelişme, farklı koşullar yaratacağı gibi, aynı nedenlerden aynı sonuçların doğmasını da engelleyebilir. Dikkatli bir şekilde baktığımızda içinde yaşadığımız dünyanın olasılıklı özelliklere sahip olduğunu görebiliriz. Yaşamımızı rasgelelik olgusu olmadan düşünemeyiz.

Şimdi, rasgelelik nedir, sorusuna aşağıdaki gibi yanıt verebiliriz:

Evrenin karşılıklı bağımlılığının ve ilişkililiğinin sonucudur.

Belirsizliğin sonucudur.

Madde ve maddenin hareket biçimlerinin sonucudur.

Bu nedenle rasgeleliği, evrenin kendi özelliklerine sahip olması, bir de olayların karşılıklı bağımlılığı ve ilişkililiği ile açıklamak mümkündür.

“Belirleyici olan her zaman nereye bakıldığı değil
nereden bakıldığıdır“
Afrika Atasözü

 Matematiksel Yaklaşım  

 

Olasılık kavramı, bilgi problemlerinin en önemlileri ile ilgilidir. Olasılık her şeyden önce doğa yasalarında kendini gösterir. Klasik olasılık kuramına göre, sayısal olasılık değeri, “uygun sonuçlar” sayısının, “tüm sonuçlar” sayısına bölümü olarak tanımlanır. Bu tanım, öznel ve nesnel diye adlandırılan farklı yorumlara yol açmaktadır. “Hilesiz bir zarla 6 atmanın olasılığı 1/6’dır” önermesi sayısal olasılık önermesine bir örnektir. Sorun, sayısal bir olasılık önermesinin nasıl yorumlanacağıdır. Popper, öznel yorumlamada bazı ruhbilimsel öğelerin olduğunu, buna göre olasılık derecesini kesinlik ya da belirsizlik inancının ölçütü olarak değerlendirmiştir. Reichanbach, rasyonalistler için, olasılık derecesi denen şey, nedenlerin yokluğunda aklın ürünüdür, değerlendirmesini yapmıştır. Popper, nesnel yorumlamayı ise, sayısal her olasılık önermesi, olaylar dizisi içerisindeki belirli olayların göreli sıklığına ilişkin bir önerme olarak nitelemiştir. Böylece, örneğin, “bir sonraki zar atışında 1 atmanın olasılığı 1/6 dır” biçimindeki bir önerme, bir şonraki zar atışının bir önermesi değil, atışlar kümesinin tamamının bir önermesidir; bir sonraki atış ile ilğili bir önerme de bu kümenin bir elemanıdır; bu önerme yalnızca, söz konusu kümede “1 atmanın” göreli sıklığının 1/6 olduğunu ileri sürmektedir. Bu yaklaşıma göre, sayısal olasılık önermeleri, ancak sıklığa ilişkin bir yorum yapılabildiğinde kabul edilebilir.

Olasılıklar hesabındaki başlıca önermelerin geçerliliğini sağlayan bir sıklık kuramı R.V. Mises tarafından ortaya konulmuştur. Reichanbach, bu kuramı olasılığın empirist (deneysel) felsefesi olarak adlandırmıştır ve rasyonalist yorumun bilimsel felsefede yer almaması gerektiğini söylemiştir. Bu kurama göre olasılıklar hesabı, belirli “rasgelelik” öğesi içeren olaylar dizisinin bir kuramıdır. Bu olaylar dizisini tanımlayan iki belitsel koşul vardır: Bunlar, “sınır-değer beliti” ve “gelişi güzellik belitidir”. Bir olaylar dizisi bu iki koşulu doyurduğunda, Mises bunu, sonsuz biçimde yinelendiği düşünülen denemeler dizisi – yani “kolektif”- olarak tanımlamaktadır. Örneğin, yıpranmayan bir zarla yapılan atışlar dizisi bir kolektifdir. Bu tür her olayın belirli bir özelliği vardır; örneğin “beş atış” bir özelliktir. Olaylar dizisindeki her bir eleman için yeni bir dizi “göreli sıklıklar dizisi” karşılık getirilebilir. Özellikler dizisi uzadıkça, sınır-değer belitine göre, göreli sıklıkların dizişi belirli bir sınır değere ulaşmalıdır. Mises’e göre “olasılık” sözcüğü, bir “kolektifin içinde bulunan göreli sıklığın sınır-değerinin” başka bir ifadesidir. Mises’e göre olasılık hesabının tek amacı şudur: Verilmiş olasılıklardan yola çıkarak, başka olasılıkların hesaplanmasıdır. Reichanbach, olasılığın sıklık yorumunun, bir olasılık önermesinin tek bir olaya uygulanması sırasında güçlük çıkaracağını, tek bir olayın olasılığının sıklık olarak belirtmenin bir anlam taşımadığını söylemiştir.

Olasılığın çağdaş tanımı matematiğin alt dalı olan ölçü teorisindeki kavramlar yardımıyla Kolmogorov tarafından verilmiş böylelikle olasılık teorisi aksiyomatik bir yapıya kavuşturulmuştur. Bu tanım, klasik olasılık tanımını da içermektedir. Olasılık teorisi Kolmogorov Aksiyomları olarak bilinen matematiksel alt yapısı ve Mises’in sıklık kuramı ile birlikte ele alınmakta ve rasgelelik içeren süreçleri modellemede kullanılmaktadır. Mises’in sıklık kuramı, Bernouilli Büyük Sayılar Teorisi ile matematiksel olarak daha iyi anlaşılabilir. Büyük Sayılar Teorisi kuramsal ve deneysel iki sayıyı birbirine bağlamaktadır. Bu kuralın aracılığı ile olasılık teorisi deneysel çalışma ile temas eder ve bu kuramın teorik olarak elde edilen sonuçları çeşitli deneysel bilim dallarına uygulanarak doğanın daha derin, ama kesin yasalarla ifade edilemeyen kanunlara uygunluklarını matematiksel olarak ifade etmeye olanak sağlar.

Teorik fizikçi Pagels “rasgelelik nedir?” sorusuna cevap vermeye çalışırken, matematiksel ve fiziksel rasgelelik problemleri arasında ayrım yapmanın önemine değinmiştir ve “Matematiksel problem, sayılar veya fonksiyonların rasgele sırasının ne anlama geldiğini tanımlayan bir mantıksal problemdir. Fiziksel rasgelelik problemi gerçek fiziksel olayların rasgelelik konuşundaki matematiksel kriterlere uyup uymadığını belirlemektir. Rasgeleliğin matematiksel bir tanımına sahip olana kadar, doğal olayların bir dizişinin gerçekten rasgele olup olmadığını belirleyemeyiz. Bir kere böyle bir tanımımız olunca, o zaman, gerçek olayların böyle bir tanıma karşılık gelip gelmediğini belirleme konulu ek deneysel bir problemimiz olur.

Rasgele sayı dizinin tanımı ve rasgeleliğin sayı dizileri için sağlanıp sağlanmadığı ile ilgili problemler halen üzerinde ciddi araştırma yapılan konular arasında gelmektedir. Özellikle son yıllarda internetin yaygın kullanılması, güvenlik ve şifreleme konusunu gündeme getirmiştir. Şifreleme, artık rasgele sayılar ve diğer bazı matematiksel yöntemler kullanılarak yapılmaktadır. Gündelik yaşam için, rasgeleliğin anlamı artık felsefi ve matematiksel bir tartışma konusu olmaktan çıkmış, hayati bir konu haline gelmiştir. Rasgele gibi görünen bir sayı dizisinin kuralı ortaya çıkarılabilir ve tüm şifreler kırılabilir. Sanal bir kumarhanede oyun oynayan birisi bu kuralı bulmuş ve çok büyük miktarlarda para kazanmıştı.

Simülasyon (benzetim) ve pi sayısının incelenmesi üzerine

Modellerin geçerliliğini test etmek amacıyla çeşitli deneyler yapılır, bazı durumlarda deney yapmak oldukça güç ve pahalı olabilir. Böyle durumlarda model üzerinde deney yapmak anlamına gelen simülasyon işlemleri yapılır. Simülasyon benzetim, taklit anlamına gelen bir sözcüktür. Günümüzde moda bir sözcük olarak kullanılmaktadır. Modellemede insan aklının en güçlü iki aracı matematik ve istatistiktir. İstatistik özellikle, rasgelelik içeren olguların modellenmesinde ön plana çıkmaktadır. Bu durumda “rasgelelik” nedir sorusu önem taşımaktadır. “Rasgelelik” tartışmasına burada girilmeyecektir. “Ragelelik” bilim, felsefe ve sanat alanlarında tartışılan başlıca konulardandır. Bu kavramla ilgili geniş bilgiye ulaşmak için kaynakçadaki makalelerden yararlanılabilir.

Ekonometri, Sayısal Çözümleme, Şifreleme, Bilgisayar Programlama, Deneysel Fizik, İstatistik,… gibi birçok uygulamalı bilim alanında rasgele sayılar simülasyon aşamasında kullanılmaktadır. Simülasyon; rasgelelik içeren olay, sistem ve süreçlerin bilgisayar ortamında model üzerinde deneyinin yapılmasıdır. Son yıllarda, simülasyon, özellikle eğitim alanında kullanılan yöntemlerin başında gelmektedir. Simülasyonun temelinde rasgele sayılar yatmaktadır. Yapılan simülasyon işleminin gerçek dünyadaki olayı iyi bir şekilde taklit edebilmesi istenir, eğer taklit iyi yapılamıyorsa deney gerçek dünyadaki olayı iyi temsil edemeyecektir. Bu nedenlerle rasgele dizi kavramının uygulama açısından önemi büyüktür. İstatistiksel dağılımlardan gözlem almak için  aralığında düzgün dağılıma sahip rasgele değişkenlerin çeşitli fonksiyonları kullanılır. Eğer  aralığındaki düzgün dağılımdan rasgele sayı üretilemiyorsa doğal olarak diğer dağılımlardan da sayı üretmek mümkün olmayacaktır. Bunun için çeşitli üreteçler (fonsiyonel ilişki) kullanılmakta ve çeşitli istatistiksel özellikleri sağlayan üreteçler rasgele sayı üreteçleri olarak kullanılmaktadır. Bu sayılar belirli matematiksel kurallara göre üretildiklerinden “sözde rasgele sayı” olarak bilinmektedir. Bilgisayar ortamında bu sayıları üretmek için pek çok yöntem kullanılmaktadır. Bu yöntemlerin başında doğrusal eşlenik üreteçleri gelmektedir. Bunlar,

x(k+1)=a*x(k)+c (mod m)

şeklindedir. x(0) başlangıç, değeri a, c ve m sayıları belirlenerek ardışık olarak sayılar üretilir. Burada önemli olan sayıların birbirini tekrar etmemesi ve istenildiği kadar üretilebilmesidir. Üretilen bu sayıların bazı İstatistiksel özellikleri de sağlaması istenir. Bu şekilde üretilen sayılara “sözde rasgele” sayı denilir. Biz bilgisayarda x(0) başlangıç değerini a, c, m sayılarını bilmediğimizden ve bunlar bazı testleri geçtiğinden rasgele sayı olarak görürüz. Gerçek rasgele sayılar, rasgelelik içeren deneyler sonucunda ya da elektronik araçlar sayesinde üretilir. Kolaylık olsun diye bilgisayarda bu sözde rasgele sayılar kullanılır. Bu rasgele sayıları üretmek ayrı bir uzmanlık alanıdır.

pi sayısı rasgele sayılar kullanılarak da hesaplanabilir. (x,y) koordinat sisteminde 1×1 ve -1y1 karesini ele alalım ve bu bölgeye S diyelim. Yine bu koordinat sistemindeki birim çemberi düşünelim. Birim çemberin oluşturduğu bölgeye de A diyelim. Bu kareye rasgele oklar fırlatalım. Okların birim çemberin içine düşmesi ancak x^2+y^21 eşitliği sağlandığında gerçekleşir. Karenin alanı 4, çemberin alanı pi olduğundan rasgele fırlatılan bir okun birim çemberin içine düşmesi olasılığı P(A)=Alan(A)/Alan(S)=pi/4 olarak bulunur. P(A) değerini yapılan ok atışlarıyla ya da rasgele sayı kullanarak hesaplayabiliriz. Oklar çok kez bu kareye atılır ve çemberin içine düşenler sayılır, buna başarıların sayısı denilirse, toplam başarı sayısının deneme sayısına oranı bize bu olaslıkla ilgili bir fikir verir. Toplam başarı sayısına m, deneme sayısına n denilirse m/n= pi/4 eşitliğinden pi=4*m/n bulunur. Deneme sayısı belli olduğundan sadece m sayısını bulmak işimizi görecektir. Bulunan bu sonuçlardan pi değeri yaklaşık olarak hesaplanabilir. Şekilde karenin içine düşen oklar yeşil renkte çemberin içine düşenler ise pembe renkte gösterilmiştir. Simülasyon işlemleri Monte Carlo yöntemleri olrak da bilinmektedir. Web sayfamda (www.leventmodelleme.com) pi sayısının rasgele sayılar kullanılarak nasıl hesaplanacağı, algoritması ve program kodu verilmiştir.

Buffon’un İğne Problemi; (Doğa bilimci Louis Leclers – Buffon Kontu, 1777) pi’nin bir geometrik olasılık probleminin çözümü sonucunda ortaya çıkması açısından özellikle ilginçtir. Bu deney herkes tarafından kolayca yapılabilir ve pi  için bir tahmin elde edilebilir. Bir düzlem, araları d birim olan paralel çizgilerle ayrılmıştır. Uzunluğu l olan olan bir iğne, bu çizgili yüzeye rasgele düşürülür. Eğer iğne bir çizginin üzerine düşerse iyi atış olarak kabul edilir. İyi atış yapılması olasılığı 2l/dpi dir. l=d=1 alındığında olasılık 2/pi olacaktır. Deney n kez yapılır ve başarıların sayısı m olursa, pi=m/2*n olarak hesaplanır. İnternette bu deneyin simülasyonunu yapan sayfalar bulmak mümkündür. www.leventmodelleme.com web sayfamda bu deney bulunmaktadır. Ayrıca, aynı sayfada İstatistik Bilimi’nde deney nasıl yapılır, rasgelelik nasıl kavratılır konusu üzerine başka deneylere de yer verilmiştir.

Yazı-Tura atma deneyini düşünelim ve yazıya 0, turaya 1 değerini verelim. 0000000000, 1111111111, 0101010101, 0010100110 dizilerinin ortaya çıkma olasılıkları teorik olarak eşit olmakla birlikte dördüncü dizi hariç diğerlerinin rasgele olmadığı açıktır.  İçinde 0’dan 9’a kadar numara verilmiş toplardan oluşan bir kavanozdan iadeli olarak 10 top çekilmesi deneyinde, sırasıyla; 0123456789 ve 0082167489 dizilerinin ortaya çıkması olasılıkları teorik olarak eşit olmasına rağmen yine birinci dizide rasgelelikten kuşku duyulmaktadır.

 

Elemanları belli bir sayı sisteminin rakamlarından oluşan diziler için rasgele dizi tanımı şu şekilde verilir: Dizideki elemanlar ardışık k’’lılar şeklinde ele alındığında bu k’lıların  k boyutlu birim küpte dağılışları düzgün ise bu diziye k-düzgün’dür denir. Örneğin, k=1 için b bazına göre rakamlardan oluşan dizinin 1-düzgün olması demek her bir rakamın dizide yer almasının göreli frekansının 1/b ‘ye yakınsaması demektir. Bir dizisinin  kendisi ve tüm alt dizileri her k için k-düzgün ise bu diziye rasgele dizi denir. 1,0,1,0,1,0,1,0,1,0 dizisi 1-düzgün, 0,0,0,0,0,0,0,0,0,0 1-düzgün değil, 1,0,1,0,0,1,1,1,0,1 dizisi 1-düzgün, 2-düzgündür. k=1, b=10 bazına göre rakamlardan oluşan dizinin 1-düzgün olması demek her bir rakamın dizide yer almasının göreli frekansının 1/10’a yakınsaması demektir. Simülasyonda sonlu sayıda elemanlı diziler söz konusu olduğunda böyle sonlu elemanlı diziler için rasgelelik nasıl sağlanacaktır? Dizi sonlu elemanlı olduğundan büyük k’lar için k-düzgünlükten hiç söz edilemeyecektir.                            

pi         sayısının ondalık basamakları üzerinde yapılan bugüne kadar ki çalışmalarda bu sayıların istatistiksel (rasgelelik) testlerin hepsinden geçtiği görülmüştür. Şunu da belirtmek gerekir ki yeni bir istatistiksel test geliştirilebilir ve bu sayılar bu testden kalabilir. Bu ondalık basamaklarda herhangi bir düzen olmadığı görüldüğü halde (bugüne kadar bulunamadı) bir düzen olabileceği varsayımı altında araştırmacılar çalışmalarını sürdürmektedir.

pi sayısının basamaklarının hesaplanması için bir çok yöntem geliştirilmiş ve halen geliştirilmeye devam edilmektedir. Acaba bu basamaklarda istatistiksel bazı özellikler var mıdır? Fazla istatistik bilgisine girmeden bunları gözlemlemeye çalışacağız. pi sayısının basamakları bir dosyada var olsun (kullanacağımız basamak sayısı 33.554.400, bu yazı ile ilgili programlar, pi hesaplayısı ve diğer dökümanlar www.leventmodelleme.com adresinden bulunabilir.) Acaba 0,1,2,…,9 sayılarından kaçar tane yer almaktadır. Eğer bunlar düzgün dağılıma sahipseler, yaklaşık olarak aynı oranlarda bulunacaktır. Yani, 0,1,2,…,9 sayılarının her birinden yaklaşık 3.355.440  tane bulunması gerekecektir. Bu sayılardan kaç tane bulunduğu kısa bir bilgisayar programı ile hesaplanabilir. Sonuçların grafiklerini çizip görsel olarak görebiliriz. Buna göre basamak sayıları srasıyla 3355085  3355565  3356623  3355072  3357257  3356378  3353816  3354630  3354113  3355861 olarak bulunur ve

biçiminde bir grafik elde edilir. Sonuçtan görüldüğü gibi 0,1,2,…9, rakamlarının sayıları birbirine oldukça yakındır. Bu rakamlar, 1/10 olasılıkla düzgün düzgün dağılmış olsalardı herbirinden 3.355.440 tane çıkması beklenirdi. Bu beklenen değerlerle,  gözlenen (sayılan) değerler kullanılarak İstatistikte Ki-kare değeri hesaplanabilir (buna bir dağılıma uyum iyiliği testi denir). Bu hesaplandığında gözlenen değerlerin 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 değerlerini 1/10 olasılıkla alan düzgün dağılım olduğu hipotezi kabul edilir. Dosyada bulunan rakamlar yan yana düşünülürse yani, 00, 01,02,…,99 sayılarından kaçar tane yer almaktadır? Bunun için de basit bir bilgisayar programı yazıp sonuçların grafiği çizilirse

biçiminde bir grafik elde edilir. Rakamlar yan yana düşünüldüğünde toplam 33554400/2= 16.777.200 kadar ikili vardır. 00, 01,…,99 sayılarından 16.777.200/100= 167.772 tane olmasını bekleriz. Şekil’den görüldüğü gibi ikililerin sayısı 167.772 civarında yer almaktadır. Buradaki beklentimizin nedeni de 00,01,…99 sayılarının dağılımının 1/100 olasılıkla düzgün dağılım olmasıdır. Yine benzer şekilde Ki-kare hipotez testi yapılmış ve bunların düzgün dağılıma sahip olduğu görülmüştür.

Benzer şekilde üçlülerin toplam sayısı 11.184.800 ve her bir üçlü için beklenilen değer 11.184 iken dörtlülerin sayısı 8.388.600 ve beklenen değer 838 dir. Bunlar için de hipotez testi yapılmış ve düzgün dağılıma sahip olduğu görülmüştür. Böylece 1-2-3-4 düzgünlük sağlanmıştır. Aklımıza acaba daha fazla sayıda düzgünlük, örneğin, 100, 1000 düzgünlük İstatistiksel olarak sağlanıyor mu sorusu gelebilir. Bunun için elimizdeki 33.554.400 adet basamak yetmeyecek, milyarlarca-trilyonlarca basamağın hesaplanması gerekecektir. Bu kadar basamağı hesaplamak daha çok matematik ile birlikte bilgisayar donanımı ve yazılımı gerektirmektedir.

Bu basamakları hesaplamak hem matematiksel bilgiyi hem de iyi derecede algoritma tasarımını gerektirmektedir ve bu algoritmalar zaman da yeni geliştirilen bilgisayarların hızlarını test etmek amacıyla kullanılmaktadır. pi’nin milyarlarca basamağı cd’lere kaydedilerek bazı durumlarda simülasyon çalışmalarında doğal rasgele sayı olarak kullanılmaktadır. Şimdiye kadar bu basamaklar rasgelelikle ilgili tüm istatistik testlerinden geçmiştir. NASA, pi ile ilgili yürütülen projelere destek vermektedir. pi sayısının hesaplanması konusuna hayatını adamış bilim adamları vardır. Kaynakçadan bunlar görülebilir.

 

Şimdi pi sayısının basamaklarını kullanarak bir simülasyon çalışması yapalım. Bilgisayardaki rasgele sayı üreteçlerini kullanmadan aşağıda tarif edildiği gibi gerçekleştirilebilir. Belirli bir başlangıç noktasında 1000 tane çekirge bulunsun ve her biri eşit olasılıkla kuzey-güney-doğu-batı yönlerine doğru 1 birim uzunlukta hareket etsin. Sırası gelen çekirge bu yönlerden birisini seçsin ve hareket etsin. 1000 tanesi 1 birim hareket ettikten sonra bulundukları yerden yine eşit olasılıklabu rasgele hareketi sürdürsün. Çekirgelerin yön seçimi ile ilgili bu rasgele hareketten simülasyon ile nasıl gözlem alınacaktır. pi sayısının basamaklarının 2 düzgünlük testinden geçtiğini biliyoruz. O halde bu basamakları kullanrak bu yön seçimi için bir kural koyulabilir. 00,01,…,24 için kuzey, 25,26,…,49 için güney, 50,51,…,74 için doğu, 75,76,…,99 için batı yönleri seçilebilir. Çekirgeler buna göre zıpladıklarında gittikleri yerler işaretlendiğinde aşağıdaki gibi güzel bir görüntü ortaya çıkar. Bu küçük bir bilgisayar programı ile yapabilir ve animasyon şeklinde görülebilir. Eşit olasılıkla hareket etmeselerdi pi sayısının basamakları kullılamayacaktı. Sonuç olarak, çekirgeler bir tarlanın ortasına konulur ve eşit olasılık ile rasgele hareket ederlerse tarladaki ürünün tamamını belirli bir süre sonunda tüketeceklerdir.

 

Bunun gibi değişik sonuçları görmek için değişik düşünceler geliştirilip farklı araştırmalar yapılabilir. pi sayısının basamaklarının resmi çizilebilir, müziği yapılabilir.

141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628

basamaklarını tekrar ele alalım. 1’den bir adım sonra 1’le karşılaşılır, buna başarı diyelim. Başarı olasılığı 1/10 olan bir basketçinin ilk başarıyı elde edene kadar yaptığı atışların sayısı olarak görülebilir. Acaba bu basketçinin ilk başarıyı elde edene kadar yaptığı atışların ortalaması ne olur? Örneğin bu başarıdan 33 atıştan sonra tekrar basket atacak, bundan sonra da 18 kez atış yapacaktır. Bu düşünceyi genişletmek olanaklıdır. Bunları gözle saymak oldukça güçtür, basit küçük bir bilgisayar programı yapılarak ilk başarıyı elde edene kadar yapılan atışların sayısınınn dağılımı ortaya çıkarılabilir. Diğer 0,2,…,9 rakamları için de benzer adım sayımları yapılabilir. www.leventmodelleme.com sayfasındaki dökümanlardan elde edeceğiniz pi sayısının basamaklarını kullanarak çeşitli özellikler keşfedebilir ve yüzünüzde güzel gülümsemeler oluşturabilirsiniz. Bu, sayılarla uğraşmanın, sadece beyninizde değil, bedeninizdeki yansımanın da bir görüntüsü olacaktır.

Bu ve buna benzer heyecan verici olasılık ve simülasyon problerine ilgi duyanlar “Olasılık ve Algoritma Tasarımına Giriş” ve “Matematiksel Modelleme ve Simülasyon” adlı kitaplarımızdan faydalanabilirler.


İlgilisine Bazı Referanslar 

Engels, F., Doğanın Diyalektiği, Sol Yay., (1970). 

Çubukçu, A., Mantık ve Diyalektik, GAZİANTEP ÖZEL TİP CEZAEVİ EKİM 1988, 

Evrensel Basım Yayım, (1989). 

Woods, A., ve Grant, A., Aklın İsyanı, Marksist Felsefe ve Modern Bilim, Tarih Bilinci Yay, (2001). 

Vasilyev, M., Stanyukoviç, K., Madde ve İnsan, Onur Yay., (1989).  

Planck, M., Modern Doğa Anlayışı ve Kuantum Teorisine Giriş, Alan Yay., (1987).  

Hançerlioğlu, O., Felsefe Sözlüğü, Remzi Kitabevi, (1982).  

Mengüşoğlu, T., Felsefeye Giriş, Remzi Kitabevi, (1988).  

Poincare, H., Bilim ve Metot, Milli Eğitim Basımevi, (1986).  

Noel, E., Günümüzde Bilimsel Görüntüleriyle Raslantı, Pencere Yay., (1999).  

Reichenbach, H., Bilimsel Felsefenin Doğuşu, Remzi Kitabevi, (1993).  

Hızır, N., Felsefe Yazıları, Çağdaş Yay., (1981).  

Pagels, H.R., Kozmik Kod, Doğanın Dili/Kuantum Fiziği, Sarmal Yay., (1992).  

Ruelle, D., Raslantı ve Kaos, TÜBİTAK Yay., (1994).  

Prigogine, I., Stengers, I., Kaostan Düzene, İz Yay., (1996).  

Popper, K.R., Bilimsel Araştırmanın Mantığı,YKY Yay, (1998).  

Woods, A., ve Grant, A., Aklın İsyanı, Marksist Felsefe ve Modern Bilim, Tarih Bilinci Yay, (2001). 

  • Öztürk, F., Özbek, L. Matematiksel Modelleme ve Simülasyon, Gazi Yay. (2004). 
  • Öztürk, F., Özbek, L. İstatistik Laboratuvarı,Pigeon Yay. (2015). 
  • Özbek, L., Olasılık ve Algoritma Tasarımına Giriş, Akademisyen Yay. (2018). 
  • Özbek, L., Rasgelelik Üzerine Düşüncelerde Bir Gezinti, Koridor Dergisi, Sayı 9, Sayfa, 4-7, (2009). https://www.researchgate.net/publication/290602430_Rasgelelik 
  • Özbek, L. “Olasılık ve Olasılık Öğretimi Üzerine Bir Çalışma”, Matematik Dünyası, Mayıs, Cilt. 11 Sayı. 2. Sayfa. 19-23, (2002). 
  • Özbek, L., Bağcı, A., (2003), “Bazı Olasılık Problemlerinin Simülasyonu”, 3.İstatistik Kongresi, 16-20 Nisan, Antalya, Bildiriler Kitabı, Sayfa 303-306. 
  • Özbek, L. (2000), “Olasılık ve Olasılık Öğretimi Üzerine Bir Çalışma”, IV. Fen Bilimleri Eğitimi Kongresi 2000, Hacettepe Ünv. Eğitim Fak. 6-8 Eylül 2000, Ankara / Türkiye. 

– Özbek, L. “Rasgele Dizi ve Pi”, Matematik Dünyası, Cilt: 9, Sayı :1, 26-28, (2000). 

– Özbek, L., Öztürk, F. (2003), “Olasılık ve İstatistik Dersinin Öğretiminde Deney ve Simülasyon ”, 3.İstatistik Kongresi, 16-20 Nisan, Antalya, Bildiriler Kitabı, Sayfa 307-310.
– Özbek, L. (Katılımcı), NATO-ASI, Nonlinear Dynamics in Life and Social Sciences, April 25 – May 6, 2000 Moscow, Russia  

Özbek, L. (2003), “Rasgelelik ve Yeniden Pi”, Pivolka 2(5), sayfa 8-11. 

http://psy.baskent.edu.tr/docs/pivolka/PiVOLKA_05F.pdf 

 Özbek, L., Reflections and Comments on Randomnes, January 2016Econometrics Letters 3(2):28DOI: 10.5455/Elet.2016.3.2.3 

https://www.researchgate.net/publication/312263422_A_Trip_through_the_thoughts_on_Randomness 

  • Özbek, LRasgelelik nedir, Bilim ve Gelecek, Sayı: 178Aralık 2018. 
  • Özbek, LPi’nin rasgelelikteki gizemiBilim ve Gelecek, Sayı: 177Kasım, 2018. 

Pi sayısı için kaynaklar 


Kaynakça 

[1]- Blatner, D. (2003),  Coşkusu, Tübitak Yay. 

[2]- Pagels, H.R. (1992), Kozmik Kod, Doğanın Dili/Kuantum Fiziği, Sarmal Yay. 

[3]- Morgan, B.J.T. (1992),  Elements of Simulation, Chapman and Hall 

[4]- Deak, I. (1990), Random Number Generators and Simulation, Akademiai Kiado. 

[5]- Dodge, Y. (1996), A Natural Random Number Generator, International Statistical Review, 329-344. 

[6]- Jaditz, T. (2000), Are the Digits of  an Independent and Identically Distributed Sequence?, The American Statistician, Vol.54, No.1, 12-16. 

[7]- Lange, L.J. (1999), An elegant Continued Fraction for , The American Mathematical Mountly, Vol.106, N.5, 456-458. 

[8]- Osler, T.J. (1999), The Union of Vieta’s and Wallis’s Product for Pi, The American Mathematical Mountly, Vol.106, N.8, 774-776. 

[9]- Öztürk, F., Özbek, L. (2015). Matematiksel Modelleme ve Simülasyon, Pigeon Yay. 

[10]- Özbek, L. (2016), Reflections and Comments on Randomness, Econometrics Letters Volume (3), pp. 28-33. 

[11]- Özbek, L., Babacan, EK ve Başkır B. (2013), Algoritma tasarımına giriş, Matematiksel ve İstatistiksel Uygulamalar, Gazi Yay. 

[12]- Bailey, D.H., Borwein, JH ve Ploufle, S. (1996), The Quest for pi, The Mathematical Intelligencer. 

[13]- Borwein, P. (2000), The amazing number , NAW 5/1, nr.3, 42-46. 

[14]- Ganz, RE. (2014), The Decimal Expansion of π Is Not Statistically Random, Experimental Mathematics, 23:99–104, 2014 

[15]- Bailey, DH., M. Borwein, JH. ve diğ. (2012), An Empirical Approach to the Normality of π, Experimental Mathematics, 21(4):375–384. 

[16]- Ganz, RE. (2017), Reply to “Reproducibility in Computational Science: A Case Study: Randomness of the Digits of Pi”, Experimental Mathematics, Vol. 26, No:3, 306-307. 

[17]- Bailey, DH., M. Borwein, JH. Ve diğ. (2017), Reproducibility in Computational Science: A Case Study: Randomness of the Digits of Pi, Experimental Mathematics, Vol. 26, No:3, 298-305 

Levent ÖZBEK