Matematiksel  ve İstatistiksel Modelleme Nedir?

Gerçek dünyadaki bir olayın, sürecin veya birimlerden oluşan ve birimleri arasındaki iç ilişkiler yanında çevre ile dış ilişkilere göre işleyen bir sistemin belli bir anlatımına model denir. Anlatım sözle, çizimle, belli bir ölçekte fiziki benzerlik oluşturmak veya başka bir şekilde yapılmakla birlikte; en geçerli anlatım, bilimin ortak dili olan matematik ile yapılmaktadır.

   Gerçek dünyada bir olayın olmasını, sürecin gerçekleşmesini ve sistemin işleyişini  bir deneyin yapılması olarak düşüneceğiz. Laboratuvar ortamında düzenlenen deneylerle birlikte, gerçek dünyada olup bitenleri de tabiat laboratuvarında birer deney olarak göreceğiz. Model, gerçek dünyadaki bir olgunun belli bir anlatımı olmak üzere, simülasyon model üzerinde “deney yapmaktır”. Bu bölümde sistem-model-simülasyon kavramları hatırlatıldıktan sonra, derinliğine  inmeksizin  örneklerle açıklanmaya çalışılacaktır. 

 Sistem

Günümüzün en çok kullanılan sözcüklerinden birisi sistem,  en geçerli mesleklerinden birisi de sistem analistliğidir. Sistem tanımlamalarından bazıları şunlardır:

“Sistem, belirli girdileri olan ve bunları işleyerek çıktı veren elemanlar  topluluğudur.”

“Sistem, birbirleriyle etkileşimli olan  elemanların sıralanmış bir kümesidir.”

“Sistem, sürekli olarak birbirini etkileyen ve birbirlerine bağlı olan olayların oluşturduğu bir bütündür.”

“Sistem, belirli girdileri alan ve bunları uygun olarak işleyerek belirli çıktılar arasındaki ilişkiyi gösteren ve bir işlevi en büyüklemeyi amaçlayan varlıklar veya ögeler topluluğudur.”  

“Sistem fiziksel veya fiziksel olmayan, kendi aralarında ilişkili ve etkileşen, bir veya birçok amaca yönelik ögeler kümesidir.”

Bazı durumlarda tek bir eleman bir sistem olarak, bazı durumlarda da birbirleriyle etkileşimli alt sistemlerin oluşturduğu bir bütün, tek bir sistem olarak ele alınmaktadır. Milli eğitim sistemini, birbiri ile etkileşimli ve birbirinden farklı yapıda olan birçok alt sistemin bir bütünü olarak ele alabiliriz. Belli bir okul tek başına bir sistem olduğu gibi, bu okulda belli bir sınıf da tek başına bir sistemdir. Bu okulda bulunan kantin veya kütüphane de birer sistemdir. Bir fabrikanın kendisi  bir sistem olmak üzere birçok alt sistemin bir birleşimidir. Bir otomobil kendi başına bir sistem olmak üzere, yakıt sistemi, elektrik sistemi, vb. gibi alt sistemlerin bir bütünüdür. Bir canlı; doku sistemi, sindirim sistemi, solunum sistemi, vb. gibi alt sistemlerin bir bütünüdür.

Bir sistemi incelemedeki amaç, sistemin davranışını öğrenmek, sistemi denetlemek, sistemi yenilemek, korumak veya başka olabilir. Bazı durumlarda bilinen girdiler için sisteme bağlı olarak çıktıların ne olacağı veya girdi ve çıktılar gözlenerek (bilindiğinde) sistemin kendisi (sistem parametreleri) hakkında bilgi çıkarılması istenebilir. Bazı durumlarda da amaç, istenilen çıktıyı elde edebilmek için sisteme denetlenebilen girdi vermek olabilir. 

Genellikle sistemler şematik olarak aşağıdaki gibi gösterilir.

Sistemler gerek birimleri (öğeleri) arasındaki ilişkiler, gerekse çevre ile ilişkileri bakımından çok karmaşık yapıdadırlar. Sistemleri değişik açılardan sınıflandırmak mümkündür:

*Doğal ve yapay sistemler.

*Sürekli (değişimleri düzgün olan, sıçramalı olmayan) ve kesikli sistemler.

*Adaptif (çevredeki değişmelere göre kendini uyarlayabilen) ve adaptif olmayanlar.

*Kararlı (dış etkenlerdeki değişimlerden aşırı derecede etkilenmeyen, stable) ve kararsız (girdilerde küçük değişimlere karşılık çıktılarda büyük farklılıklar olan) sistemler.

*Deterministik (sebep-sonuç ilişkileri kesin) ve stokastik (sebep – sonuç ilişkileri rasgelelik içeren) sistemler.

*Dinamik (sistem durumlarında bir durumdan diğer duruma geçiş olasılığı zamanla değişen) ve statik (kalıcı) sistemler.

Bazı sistemlerde istenilen çıktıları elde etmek için çıktılar üzerindeki gözlemlere bağlı olarak denetlenebilen girdiler verilmektedir. Bu tür denetlemeye geri bildirim (feedback) denmektedir.

İnsanoğlunun başlıca amacı, içinde varolduğu gerçek dünyayı (kendi varlığı da dahil olmak üzere) anlamak ve anlatmaktır.  Sonsuz derecede karmaşık olan gerçek dünyayı  anlama ve anlatmanın en güçlü aracı aklımızdır. Duyu organlarımız ve diğer yollardan aklımıza aktarılan sınırlı bilgiler çerçevesinde,  gerçek dünyayı anlama ve anlatmaya kısaca modellemeye çalışırız.

Model

Model, gerçek dünyadaki bir olgunun veya sistemin yapı ve işleyişinin, ilgili olduğu bilim sahasının (fizik, kimya, biyoloji, jeoloji, astronomi, ekonomi, sosyoloji, vb.) kavram ve kanunlarına bağlı olarak ifade edilmesidir. Model gerçek dünyadaki bir olgunun anlatımı ve temsilidir. Gerçek dünyanın çok karmaşık olması sebebiyle modeller, anlatmak istedikleri olgu ve sistemleri basitleştirerek belli varsayımlar altında ele almaktadır. Modeller gerçeğin kendileri değildir ve ne kadar karmaşık görünseler de gerçeğin bir eksik anlatımıdırlar. Kısaca model denilen şey  model kurucunun gerçeği “anlayışının” bir ürünüdür. Bazı durumlarda, gerçek dünyadaki bir olgu ile ilgili birden fazla model kurulmaktadır. Bu modeller birbirinden farklı olmakla birlikte, örneğin ışık için tanecik ve dalga modellerinde olduğu gibi, olgunun belli bazı özelliklerini anlatımda, biri diğerine göre daha iyi veya kötü olabilmektedir. 

Her model kurma işlemi bir soyutlama sürecidir. Soyutlama süreci, gerçek dünyadaki olguların ayrıntılardan arındırılmış görüntülerinin insan düşüncesine aktarılmasıdır. Modeli kurabilmek ve seçebilmek için söz konusu olgu  veya sistemin temel özelliklerini, birimleri arasındaki  iç ilişkilerini ve çevre ile olan dış ilişkilerini bilmek gerekir. Modelin başarısı, pratik ve bilimsel yararlılığı, olgu veya sistemin esasını soyutlamadaki doğruluğun derecesine ve göz önüne alınan özelliklerin (karakteristiklerin) ne denli temel nitelikte olup olmadıklarına bağlıdır. 

Gerçek dünyadaki bir olgunun modellenmesi sırasında, ilgilenilen özellikler (hız, ivme, vb.) ile anlatımdaki karşılıklar (vektör, türev, vb.) arasındaki bağ “ölçme” işlemine dayalıdır. Ölçme her bilim dalının kendine özgü zorluklar içeren ve çözmesi gereken bir problemdir. Örneğin sıcaklığın nasıl ve ne ile ölçüleceği fiziğin bir problemidir. Enflasyonun nasıl ve ne ile ölçüleceği ekonominin bir problemidir. Zeka düzeyinin ölçülmesi psikoloji ve pedagojinin bir problemidir. Birçok durumda  ölçmenin nasıl yapılacağının belirlenmesi, ölçü biriminin ve bazı durumlarda da ölçü aletinin (terazi, ölçek, metre, termometre, anket, test, vb.) bulunması araştırmanın en zor aşamalarından birisidir.

Bir ölçme sonucu, ölçülen özelliğin modeldeki karşılığı olan değişkenin aldığı değer olarak ele alınmaktadır. Ölçülen özellik rasgelelik içerdiğinde modelde karşılık gelen değişken doğal olarak rasgele değişken olacaktır. 

Modeller değişik biçimlerde sınıflandırılmaktadır.

*Sözlü modeller : Sözcükler yazılı veya sözlü her tür düşüncenin en yaygın anlatım biçimidir. Ancak bir binanın belli bir sütunundaki bir kesitinde yük dağılımını sözcüklerle anlatmak pek geçerli bir yol değildir. 

*Şematik modeller: Çizim, resim, harita, akış diyagramı, organizasyon şeması, grafik, vb. gibi anlatım biçimleridir. 

*Maket modeller : Belli bir ölçekte fiziki benzer oluşturmakla yapılan anlatım. 

*Matematiksel modeller : 

**Stokastik (rasgele değişken içeren) ve deterministik (rasgele değişken içermeyen) matematiksel modeller. 

**Lineer ve lineer olmayan modeller.

**Sürekli (diferensiyel denklem) ve kesikli (fark denklemi) modeller.

Matematiksel modeller anlatım gücü en fazla ve en geçerli olan modellerdir. Belli bir olgunun matematiksel olarak modellenmesi bu bölümün sonunda bir kaç basit örnekle açıklanmaya çalışılacaktır. Belli bir sistemin matematiksel modelinde girdi, ölçümler sonucu elde edilen sayısal değerlerdir. 

Genel olarak bir matematiksel model aşağıdaki gibi ifade edilir.

Model kurucunun gerçek dünyadaki olguya bakış açısına bağlı olarak modellemede aşağıdaki durumlar söz konusu olabilir. 

Gerçek dünyayı anlama ve anlatmada, yani modellemede insan aklının en güçlü iki aracı matematik ve istatistiktir. İstatistik özellikle, rasgelelik içeren olguların modellenmesinde ön plana çıkmaktadır. 

Herhangi bir deneysel bilimin ilgi sahasına giren olguları modellemede düşünce tarzı aşağıdaki gibidir.

Bir modelin yararlı olması için, olgu veya sistem ile ilgili bazı girdiler (veriler) verildiğinde bunların sonuçlarını ortaya çıkaran bir çözüm yönteminin  bilinmesi ve bu yöntemin uygulanabilmesi gerekir. Örneğin belli bir olgu bir diferensiyel denklem ile modellendiğinde bu denklemin çözüm yolunun da bilinmesi gerekir. Bu, soyut bir bilim dalı olan matematiğin sorunudur. Eğer model stokastik ise çözümleme istatistiğin bir sorunudur. Çözümleme sonucunda elde edilen sonuçların yorumlanması ve bu sonuçlardan gerçek dünya hakında açıklamalar, tahminler yapılması karar kuramı çerçevesinde istatistiğin bir sorunudur. Verilerin nasıl toplanacağı da istatistiğin bir sorunudur. Kısaca, istatistik yukarıdaki döngünün her savhasında yer almaktadır.  Ayrıca ortaya atılan bir modelin (teorinin, hipotezin) sınanmasının (test edilmesinin) nasıl yapılacağı yine istatistik biliminin bir sorunudur. 

Modeldeki çözüm yöntemi analitik veya nümerik (sayısal) olabildiği gibi belli veriler altında gerçek dünyadakine benzer şekilde modeli işletip karşılık gelen sonuçları gözlemek biçiminde de olabilir. Bir sonraki kısımda ele alınacak olan bu yöntem (simülasyon) genellikle bilgisayarda yürütülmektedir. Bu sebepten dolayı bir olgu veya sistemin modelinin kurulması yanında bunun bilgisayar ortamına aktarılması, bir anlamda bilgisayar modelinin kurulması da gerekir.

Sistemler, gerek birimleri arasındaki ilişkiler gerekse çevre ile ilişkileri bakımından genellikle çok karmaşık yapıdadır. Bunlar, bazı basitleştirmeler (ihmaller) ve varsayımlar altında modellenmektedir. Modelin, sistemi ne kadar iyi temsil ettiğinin araştırılması olan geçerlilik araştırması (validation) sırasında iki tür hata ile karşılaşılır. Birincisi, gerçekte geçerli olan bir modelin geçerlilik testleri sonucu reddedilmesi, ikincisi de geçersiz olan bir modelin geçerlilik testleri sonucu kabul edilmesidir. Birinci durum model kurucunun, ikinci durum ise model kullanıcının riski olarak isimlendirilir.

Bir modelin geçerliliğini sınamadan önce, model yapısındaki algoritma ve bilgisayar programlarında hata olup olmadığının araştırılması gerekir. Bu tür işlemlere doğrulama (verification) denir.

Matematiksel modellerin iyiliği, kullanılan matematiğin düzeyine, ölçümlerin niteliğine ve değerlendirilmesine bağlıdır. İyi modeller kurabilmek için ileri düzeyde matematik bilgisine ihtiyaç vardır. Matematik geliştikçe gerçek dünyayı anlamak ve anlatmak, kısacası gerçeklere yaklaşmak daha iyi olmaktadır. Bir taraftan, var olan bir gerçek dünyanın anlaşılması, diğer taraftan, insan aklının soyut bir ürünü  olan  matematiğin geliştirilmesi her zaman birbirini etkileyen iki unsur olmuştur. Örneğin ilk çağlarda insanoğlu nesnelerin şekilleri ile kafasını yordu ve Euclide geometrisini geliştirerek soyut dünyada büyük bir adım attı. Daha sonraki yıllarda ise gerçek dünyayı bu geometrinin kalıpları içine sığdırmaya çalıştı. Matematiğin soyut dünyasının kabuğunu kırıp yeni bir dünyanın ufkunu açan Lobaçevski, Boyay ve Gauss’un ilham kaynakları nelerdi? 

Matematiğin en önemli kavramlarından biri olan türev kavramını göz önüne alalım. Bu kavramın niçin böyle tanımlandığını hiç düşündünüz mü? Hepimizin çok küçük yaşlardayken bile sezgisel olarak kavra-dığı hız kavramını anlama ve anlatma arayışı içinde olan Newton ve ondan habersiz olarak Leibniz, bunun matematiksel karşılığını yani türevi bulmuşlardır (tanımlamışlardır). 

Simülasyon

Bir olay, süreç veya sistemle ilgili bir özelliğin ya da davranışın model üzerinde gözlenmesine simülasyon (simulation) denir. “Simulation”  taklit, benzetim anlamına gelen bir sözcüktür. 

Matematiksel modellerde, analitik veya nümerik (sayısal) bir çözüm bulunamadığında simülasyona başvurulduğunu hatırlatalım ve optimal bir sonuç yerine, değişik koşullar altında yapılan denemelerle bir takım “gözlem” sonuçlarının elde edildiğini belirtelim. Modeller kurulduktan sonra, bu modellerden sonuç çıkarma veya başka bir ifadeyle çözüm yöntemlerinden birisi olan simülasyon, analitik ve sayısal  çözümler yanında en son başvurulması gereken bir çare olarak düşünülmesine karşılık bilgisayar ve diğer teknolojik gelişmeler sonucunda çok kullanılan bir yöntem haline gelmiştir. Bununla birlikte simülasyon ile elde edilen gözlemlerin gerçek dünyadakine göre ucuz, çabuk ve tekrarlanabilir şekilde elde edilmesi ve özellikle stokastik modellerde çok değişik koşullar altında gözlem yapma olanağı vermesi bazı durumlarda simülasyonu birinci sırada tercih edilen bir yöntem haline getirmektedir. Ancak, simülasyon sonucunda gerçek olay, süreç veya sistemle ilgili “model üzerinde yapılan deneyler” ile bazı  gözlem değerlerinin elde edildiğini unutmayalım. 

Tasarımcılar tarafından, örneğin telekomünikasyon ve haberleşme sistemi, yeni bir uçak, kurulacak olan yeni bir fabrika ve diğer bir çok alanda tasarım safhasında kullanılan simülasyon, tasarımcıların kullandıkları en güçlü araçlardan birisidir. Simülasyon, yöneylem  araştırmasında olduğu gibi eğitimde de (pilot eğitimi, iş oyunları, savaş oyunları, rasgeleliğin kavratılması,…)  maliyeti düşük ve kullanışlı bir yöntemdir. 

Özellikle stokastik modellerdeki simülasyonda rasgeleliğin sağlanması (olasılık dağılımlarından rasgele sayı üretilmesi) ve simülasyon sonucunda elde edilen “gözlem” değerlerine bağlı sonuçların “iyiliği” sorunları istatistiksel olarak çözülmesi gerekenlerden başlıca ikisidir.

İlgilisine Kaynaklar: 

Fikri Öztürk, Levent Özbek. Matematiksel Modelleme ve Simülayon, Pigeon Yay. 2016.

Levent Özbek, Olasılık ve Algoritma Tasarımına Giriş, Akademisyen Yay. 2017.

www.leventmodelleme.com

Levent ÖZBEK